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[注意]2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)           
2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)
作者:温日明 文章来源:本站原创 点击数: 更新时间:2015/6/10 16:30:59

2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)

.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

17、(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC90°AB=BC=1P为△ABC内一点,

BPC90°

(1)PB=,求PA

(2)APB150°,求tanPBA

 

 

 

 

18、(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CBAB=AA1∠BAA1=60°.

)证明ABA1C;

)若平面ABC⊥平面AA1B1BAB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。

 

 

 

 

 

19、(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为50%,且各件产品是否为优质品相互独立.

1)求这批产品通过检验的概率;

2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望。

 

 

 

 

 20(本小题满分12)已知圆 : , : ,动圆 外切并且与圆 内切,圆心 的轨迹为曲线 C.
   
)求C的方程;

   
是与圆 , 都相切的一条直线, 与曲线C交于AB两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

21(本小题满分共12分)已知函数 ,若曲线 曲线 都过点P(02),且在点P处有相同的切线

)求 的值

)若 ≥-2时, ,求 的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。

22、(本小题满分10分)选修41:几何证明选讲  题目略

 

23、(本小题10分)选修44:坐标系与参数方程 

 已知曲线C1的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为

)把C1的参数方程化为极坐标方程;

)求C1C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)。

 

 

 

 

24、(本小题满分10分)选修45:不等式选讲

已知函数 = , = .

)当 =2时,求不等式 的解集;

)设 -1,且当 [ )时, , 的取值范围.

 

2013年高考理科数学试题(新课标全国卷Ⅰ)答案

17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA=

(Ⅱ)设∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化简得, ,∴ = ,∴ = .

18.【解析】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE

AB= = ,∴ 是正三角形,

AB,∵CA=CB,∴CEAB, =E,∴AB⊥面   AB ;…6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ECAB AB

又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC

EAEC 两两相互垂直,以E为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系 ,有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0), =1,0 , = =(1,0, ), =(0, , ),  ……9

= 是平面 的法向量,则 ,即

可取 = 1-1),∴ =

直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 .       ……12

19.【解析】设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A,第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C,第二次取出的1件产品是优质品为事件D,这批产品通过检验为事件E,根据题意有E=(AB)(CD),ABCD互斥,

P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .6

(Ⅱ)X的可能取值为400,500,800,并且

P(X=400)=1- = P(X=500)= P(X=800)= =

X的分布列为

X

400

500

800

P

                                                      ……10

EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12

20.【解析】由已知得圆 的圆心为 -10,半径 =1,圆 的圆心为 (1,0),半径 =3.

设动圆 的圆心为 ),半径为R.

(Ⅰ)∵圆 与圆 外切且与圆 内切,∴|PM|+|PN|= = =4

由椭圆的定义可知,曲线C是以MN为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 .

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 ),由于|PM|-|PN|= 2,∴R2,

当且仅当圆P的圆心为(20)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为

的倾斜角为 时,则 轴重合,可得|AB|= .

的倾斜角不为 时,由 R 不平行 轴,设 轴的交点为Q,则 = ,可求得Q-40),∴设 ,由 于圆M相切得 ,解得 .

= 时,将 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .

= 时,由图形的对称性可知|AB|=

综上,|AB|= |AB|= .

21【解析】(Ⅰ)由已知得

= = ,∴ =4 =2 =2 =2;……4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

设函数 = = ),

= =

有题设可得 0,即

=0得, = =2

1)若 ,则-2 0,∴当 时, 0,当 时, 0,即 单调递减,在 单调递增,故 = 取最小值 ,而 = = 0

∴当 ≥-2时, 0,即 恒成立,

(2) ,则 =

∴当 ≥-2时, 0,∴ (2,+)单调递增,而 =0

∴当 ≥-2时, 0,即 恒成立,

(3) ,则 = = 0

∴当 ≥-2时, 不可能恒成立,

综上所述, 的取值范围为[1, ].

 23.【解析】将 消去参数 ,化为普通方程

,将 代入 得,

的极坐标方程为

的普通方程为

解得 ,∴ 的交点的极坐标分别为( ), .

24.【解析】当 =-2时,不等式 化为

设函数 = =

其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 时, 0,∴原不等式解集是 .

)当 [ )时, = ,不等式 化为

[ )都成立,故 ,即

的取值范围为(-1 ].

 

 

 

文章录入:温日明    责任编辑:温日明 
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